Call +84.99.6656.999 for ADS 01

Những thách thức khi giải bài toán cắt bánh

08/12/2018 (07:30:34)

Dưới đây là bài toán dễ nhất dành cho khối học sinh lớp 6-7 trong kỳ thi InIMC 2017 tại Ấn Độ.

Topic 17: Bread-cutting

Problem: Weni cuts a long loaf of bread into 10 equal pieces but leaves the entire loaf together. Lia and Anggi also did the same thing on the same loaf of bread, but cutting it into 15 and 18 equal pieces, then the loaf falls apart. How many pieces are there altogether?

Ảnh: Qualfood

Ảnh: Qualfood

Dịch đề: Weni cắt một ổ bánh mì dài thành 10 phần bằng nhau nhưng vẫn giữ ổ bánh nguyên vẹn. Lia và Anggi cũng cắt ổ bánh mì đó thành 15 và 18 phần tương ứng bằng nhau. Khi đó ổ bánh mì bị tách ra thành nhiều mẩu nhỏ. Hỏi tổng cộng có bao nhiêu mẩu bánh mì?

Bình luận và lời giải

1. Thiếu sót của đề bài

Giả định ổ bánh mì có hình dạng khối hộp chữ nhật và hình vẽ thể hiện mặt trên của hình khối. Để chia khối hộp chữ nhật thành 15 phần bằng nhau (một số lẻ m phần bằng nhau) ta chia bởi (m - 1) nhát cắt song song cách đều nhau như hình sau.

Những thách thức khi giải bài toán cắt bánh - 1

Để chia khối hộp chữ nhật thành 10 phần hoặc 18 phần bằng nhau (một số chẵn m = 2n phần bằng nhau) ta có 2 cách chia sau đây:

- Chia bởi (2n -1) nhát cắt song song với chiều rộng và cách đều nhau như m lẻ.

- Chia bởi (n -1) nhát cắt song song với chiều rộng và cách đều nhau rồi chia tiếp bởi n nhát cắt đi qua tâm của n khối hình hộp chữ nhật vừa tạo ra.

Xem minh họa cách cắt bánh tạo ra 10 phần và 18 phần bằng nhau từ 2 hình vẽ sau:

Những thách thức khi giải bài toán cắt bánh - 2

Khi chập lại cả 3 cách cắt trên ta có hình tổng hợp các nhát cắt với 56 miếng rời nhau.

Những thách thức khi giải bài toán cắt bánh - 3

2. Bổ sung đề bài tạo ra lời giải một đáp số

2.1. Bổ sung đề bài

Để bài toán trở nên hay với duy nhất một đáp số là 34 thì cần có thêm giả thiết: "Tất cả nhát cắt bánh của cà 3 người đều cùng song song với chiều rộng của bánh".

Đề bài hoàn thiện:

Weni, Lia, Anggi cùng chia một ổ bánh mì hình hộp chữ nhật với các nhát cắt song song với 2 mặt bên. Weni cắt ổ bánh mì thành 10 phần bằng nhau nhưng vẫn giữ ổ bánh nguyên vẹn. Lia và Anggi cũng cắt ổ bánh mì đó thành 15 và 18 phần tương ứng bằng nhau. Khi đó ổ bánh mì bị tách ra thành nhiều mẩu nhỏ. Hỏi tổng cộng có bao nhiêu mẩu bánh mì?

Với giả thiết này ta có lời giải sau đây.

2.2. Lời giải

Gọi chiều dài ổ bánh mì là 90k. Cắt ổ bánh mì thành 10, 15 và 18 phần tương ứng bằng nhau thì chiều dài của mỗi phần bằng nhau lần lượt là: 9k; 6k và 5k.

Tổng số lần cắt bánh của Weni, Lia, Anggi là:

(10 - 1) + (15 - 1) + (18 - 1) = 40 (lần) (1)

Trong các lần cắt bánh của Weni, Lia, Anggi sẽ có một số lần cắt trùng nhau.

Ta sẽ xác định số lần cắt trùng nhau của Weni, Lia và Anggi bằng việc tìm các bội số chung của 9k; 6k và 5k nhưng nhỏ hơn 90k.

Do bội số chung của (9k; 6k) và nhỏ hơn 90k là 18k; 36k; 54k; 72k nên Weni và Lia có 4 lần cắt trùng nhau. (2a)

Do bội số chung của (9k; 5k) và nhỏ hơn 90k là 45k nên Weni và Anggi có 1 lần cắt trùng nhau. (2b)

Do bội số chung của (5k; 6k) và nhỏ hơn 90k là 30k; 60k nên Lia và Anggi có 2 lần cắt trùng nhau. (2c)

Do bội số chung nhỏ nhất của (9k; 6k; 5k) là 90k, bằng chiều dài của cả chiếc bánh nên không có lần nào mà cả ba người cắt trùng nhau. (2d)

Từ (2a); (2b); (2c); (2d) suy ra: Số lần mà Weni, Lia, Anggi cắt bánh trùng nhau là:

4 + 1 + 2 = 7 (lần) (3)

Từ (1) và (3) suy ra: Số lần Weni, Lia, Anggi cắt bánh không trùng nhau là:

40 – 7 = 33 (lần)

Vậy số miếng bánh được tạo thành sau khi Weni, Lia, Anggi cắt bánh là:

33 + 1 = 34 (miếng).

2.3. English Solution

Let the original length of the bread loaf be 90k. When the loaf is cut into 10, 15 and 18 equal pieces, the length of each piece will be 9k; 6k and 5k respectively.

The total number of cuts made by Weni, Lia and Anggi is:

(10 – 1) + (15 – 1) + (18 – 1) = 40 (cuts) (1)

Some of these cuts will overlap each other.

We can determine the number of coincident cuts made by Weni, Lia and Anggi by determining the common divisors of 9k; 6k and 5k that are smaller than 90k.

The common divisors of (9k; 6k) that are smaller than 90k are 18k; 36k; 54k; 72k. Thus, Weni and Lia made 4 coincident cuts. (2a)

The common divisor of (9k; 5k) that is smaller than 90k is 45k. Thus, Weni and Anggi made 1 coincident cut. (2b)

The common divisors of (5k; 6k) that are smaller than 90k are 30k; 60k. Thus, Lia and Anggi made 2 coincident cuts. (2c)

The least common divisor of (9k; 6k; 5k) is 90k, equal to the original length of the bread loaf. Thus, no cuts were made by all three people. (2d)

From (2a); (2b); (2c); (2d), it follows that the total number of coincident cuts made by Weni, Lia and Anggi is: 4 + 1 + 2 = 7 (cuts) (3)

From (1) and (3), it follows that the total number of non-coincident cuts made by Weni, Lia and Anggi is: 40 – 7 = 33 (cuts)

Therefore, the total number of bread pieces after Weni, Lia, Anggi made their cuts is:

33 + 1 = 34 (pieces).

3. Bình luận và bài toán thách thức

3.1. Bình luận

Do có vô số cách cắt khác nhau đi qua tâm các khối hình hộp chữ nhật nhỏ để tạo ra một số chẵn các hình khối bằng nhau nên khi lắp ghép cả ba cách trên cùng một niếng bánh sẽ tạo ra rất nhiều trường hợp có số miếng bánh khác nhau. Chẳng hạn với cách ghép của 3 cách cắt dưới đây ta có 78 miếng bánh nhỏ.

Những thách thức khi giải bài toán cắt bánh - 4

Vì thế có thể thay đổi câu hỏi để bài toán trở thành rất khó sau đây:

3.2. Bài toán thách thức

Weni, Lia, Anggi cùng chia 1 ổ bánh mì hình hộp chữ nhật với các nhát cắt. Weni cắt ổ bánh mì thành 10 phần bằng nhau nhưng vẫn giữ ổ bánh nguyên vẹn. Lia và Anggi cũng cắt ổ bánh mì đó thành 15 và 18 phần tương ứng bằng nhau. Khi đó ổ bánh mì bị tách ra thành nhiều mẩu nhỏ. Hỏi tổng cộng có nhiều nhất bao nhiêu mẩu bánh mì?

Theo: VNEXPRESS.NET


Giáo dục (Tin trước)